「まわりの長さが同じなら、広さも同じ」ではない ── ひもは、広さを決めない

同じ18cmのひもから、ちがう広さが生まれる

ためしに、18cmのひもで作れる長方形を、たてとよこが整数のものだけ全部書き出してみます。長方形のまわりは「たて＋よこ」の2つぶんなので、たてとよこをたすと18÷2＝9cm。つまり、たしてちょうど9になる組をさがせばよいことになります。

まわりの長さの列は、ぜんぶ18cm。ひもは1本も切っていないのだから、当たり前です。ところが面積の列を見ると、8、14、18、20と、ばらばら。いちばんせまい形といちばん広い形では、20÷8で2.5倍もちがいます。同じひもなのに、です。

タイルの絵にすると、もっとはっきりします。たて1cmの長方形は、タイルがたった1列。はば1cmのせまい通路です。同じひもでも、形が細長くなるほど、中身がぺちゃんこにつぶれていく。ひもの長さは、中身の広さを決めてくれないのです。

はかっているものが、そもそもちがう

なぜこんなことが起きるのか。それは、まわりの長さと面積が、はかっているものからしてちがうからです。

まわりの長さは、ふちを1しゅうする線の長さ。ひもをまっすぐにのばせばはかれて、単位はcmです。いっぽう面積は、面積の記事でやったとおり、1cm²のタイルが何まいしきつめられるかという数。単位はcm²です。線の長さと、タイルのまい数。もともと、くらべるほうがむりな相手だったのです。

表の3行目を、もういちど見てください。たて3cm×よこ6cmの長方形は、まわりの長さが18cm、面積が18cm²。数字はどちらも18です。では「まわりと広さが同じ長方形」なのでしょうか。ちがいます。18cmは線の長さ、18cm²はタイル18まい。数字がたまたま同じになっただけで、量としては別のものです。単位を書きわすれると、このちがいが見えなくなります。

まわりが同じなら、正方形に近いほど広い

さっきの表には、もうひとつのきまりがかくれています。たてとよこの差をならべてみましょう。1と8の差は7。2と7の差は5。3と6の差は3。4と5の差は1。差が小さくなるほど、面積は8→14→18→20と大きくなっています。つまり、たてとよこが近い形、正方形に近い形ほど広いのです。

この表のうごきは、変わり方の記事でやった「表にしてしらべる」のやり方そのものです。たてを1cmふやすと、よこは1cmへる（たすと9のままだから）。2つの量が連動して動くとき、表にすると、かくれていたきまりが見えてきます。

では、整数にこだわらなければどうなるでしょう。たて4.5cm×よこ4.5cmの、ほんものの正方形にすると、広さはもう少しだけふえます（この計算は5年生でならう小数×小数です）。そして、長方形という条件もはずしてまるい円にすると、約26cm²まで広がることが知られています。同じひもなら、円がいちばん広い。これは6年生の円の面積で出会う話です。シャボン玉がいつも丸いのは、同じ中身を包むのに、丸がいちばんひもづかい（まわりづかい）が上手な形だから、という理由とつながっています。

ぎゃく向きも成り立たない ── 広さが同じでも、まわりはちがう

こんどは反対から見てみます。面積のほうを24cm²にそろえて、長方形を書き出すと、どうなるでしょうか。

タイルのまい数はどれも24まいなのに、まわりの長さは50cmから20cmまで、こちらも2.5倍のひらきがあります。広さをそろえても、ふちの長さはそろわない。どちらか一方が分かっても、もう一方は決まらない。これが、2つの量が他人どうしだといういちばん強いしょうこです。

この表には、生活で役に立つ読み方があります。もし花だんを24m²作って、まわりにさくを立てるなら、4m×6mの形にすれば、さくの材料は20mぶんですみます。1m×24mの細長い花だんだと、同じ広さなのに50mぶん必要です。同じ広さなら、正方形に近い形がいちばんふちを節約できる。まわりの長さと面積を別べつに見られる人だけが、この節約に気づけます。

テストでは「どちらを聞かれたか」に丸をつける

この2つの量は、テストでわざとならべて出されます。「まわりの長さを答えなさい」の問題で面積を書いてしまう。「面積を答えなさい」で、たてとよこをたしてしまう。知識が足りないのではなく、どちらを聞かれたかを見ないまま計算を始めるのがげんいんです。

対策はかんたんで、問題文の「まわりの長さ」「面積」という言葉に、さいしょに丸をつけること。そして答えを書いたら、単位がcmなのかcm²なのかをたしかめること。まわりを聞かれて答えの単位がcm²になっていたら、その時点でどこかで道をまちがえています。単位は、答え合わせの前に自分でできるいちばん早い見直しなのです。

つまずきやすいところ

その1　「まわりが長いほうが広い」と思ってしまう

大きくならべて書かれた図を見ると、ふちが長いほど中身も広い気がしてきます。そこで、きょくたんな例をひとつ覚えておきましょう。たて1cm×よこ30cmの長方形は、まわり62cm・面積30cm²。たて6cm×よこ6cmの正方形は、まわり24cm・面積36cm²。まわりは半分以下なのに、広さは上です。長いひもがいつも広いとはかぎりません。

その2　cmとcm²をまぜて書いてしまう

「まわり18cm²」「面積20cm」のような書きまちがいは、見直しのときに自分でも気づきにくいまちがいです。cmと書いたら線、cm²と書いたらタイル。書くたびに、頭の中でどちらをはかったのかを言い直すくせをつけると、まざらなくなります。

その3　まわりの長さから面積を出すとき、18をそのまま使ってしまう

「まわり18cmの長方形」と聞いて、18をそのままかけ算に入れたくなりますが、面積の式は「たて×よこ」です。まわりの長さからたてとよこの組をさがすなら、まず18÷2＝9で「たて＋よこ」の9cmに直してから、たして9になる組を考える。2でわるこの1歩をとばすと、あとの計算が全部ずれます。

やってみよう