鶴亀算 ── 頭の数と足の数から、ツルとカメの数をさがす

何が分からないのか、整理する

この問題には、数が分からないものが2種類あります。ツルの数と、カメの数です。分かっているのは2つだけです。

ツルの足は2本、カメの足は4本です。この足の本数のちがいを使うのが、鶴亀算のかぎになります。

「ぜんぶツル」と仮定してみる

いきなり正解を探すのではなく、まずうその仮定を立ててみます。「10頭すべてがツルだった」としたら、足の数はどうなるでしょうか。

でも、本当は足は32本あるはずです。計算した20本との間にズレがあります。

このズレ12本は、どこから生まれたのでしょうか。それは、仮定の中にかくれているカメのせいです。1頭をツルからカメに入れ替えるたびに、足は2本から4本に増えます。

ズレの12本は、「2本ずつ増える入れ替えが何回起きたか」を表しています。

答えが出ました。ツル4羽、カメ6匹です。本当に合っているか、もとの条件で確かめましょう。

頭の数も足の数も、問題の条件とぴったり一致しました。

逆に「ぜんぶカメ」と仮定してもよい

今度は反対に、10頭すべてがカメだったと仮定してみます。

本当の足の数32本より、多すぎます。差は8本です。

今度は、1頭をカメからツルに入れ替えるたびに、足が2本から4本の分、つまり2本ずつ減ります。

さきほどとまったく同じ答え（ツル4羽、カメ6匹）になりました。どちらの種類を仮定しても、たどり着く答えは1つだけです。やりやすいほう、思いついたほうから始めてかまいません。

文字と式で見ると、何をしているのか分かる

ツルの数をx、カメの数をyとして、2つの条件を式にします。

頭の式から、x ＝ 10 － y と分かります。これを足の式にそっくり入れかえます。

yが6（カメ6匹）と分かり、x ＝ 10－6 ＝ 4（ツル4羽）。「ぜんぶツルと仮定する」計算は、実はこの文字の式を頭の中で先取りしていたのです。「20＋2y＝32」の20が「ぜんぶツルだとしたときの足20本」、2yが「カメに入れ替えた分だけ増える足」にあたります。中学で習う連立方程式の考え方と、同じ道すじを歩いていたことになります。

動物以外でも使える

鶴亀算は、ツルとカメの問題だけのものではありません。「2種類の値段（重さ・大きさ）が決まっていて、合計の個数と合計の金額（重さ）が分かっている」場面なら、同じやり方で解けます。

切手の例で実際に解いてみます。問題：50円切手と80円切手が合わせて12枚あり、金額の合計は780円。それぞれ何枚でしょうか。

検算：50×6＋80×6＝300＋480＝780円。条件とぴったり合いました。くだものの例（60円のみかんと120円のりんご、合わせて10個で1000円）でも、やり方は同じです。

この数字だと答えが割りきれません。鶴亀算は、差が入れ替えの増え方でちょうど割りきれるときにだけ、整数のきれいな答えになります。実際に計算してみて割りきれなければ、もとの数（個数・合計の量）の読みとりをまちがえていないか、もう一度見直すことが大切です。

つまずきやすいところ

その1　ズレを4でわってしまう

「足が4本だから」と、ズレをそのまま4でわる。
わるのは入れ替えで増える分（4－2＝2）です。足の本数そのものではありません。

その2　頭の数と足の数を取りちがえる

「頭の数×2」と「足の数×2」を混同してしまう。
仮定の計算でかけるのは頭の数（全体の個数）です。足の数は最後に検算で使います。

その3　検算をせずに終える

ズレの計算だけで安心して、答え合わせをしない。
頭の数と足の数の両方に、求めた答えを当てはめて確かめましょう。わり算でわりきれない時点で、どこかの読みとりミスに気づけます。

その4　2つの仮定で、増える・減るを逆にする

「ぜんぶカメ」と仮定したのに、入れ替えで足が増えると考えてしまう。
「ぜんぶツル」なら仮定の足は少なすぎる（増える方向に直す）、「ぜんぶカメ」なら仮定の足は多すぎる（減る方向に直す）と、仮定した数が本当の数よりどちら側にあるかを先に確認します。

やってみよう