マイナスは「たりない」という意味ではない ── 0は数のはしではなく、まんなかだった

教科書のどこに出てくるか

先に正直に書いておきます。マイナスの数を正式に習うのは中学1年生です。小学校の算数の教科書では、6年生の最後に「中学校へのかけ橋」のような形でちらっと顔を出すことはあっても、計算のしかたまでは扱いません。

それなのにこの記事を書いたのは、みなさんのほうが先に出会ってしまっているからです。しかも一度や二度ではありません。冬の天気予報は毎朝マイナスを出しますし、デパートの地下も、スマートフォンの電池残量が減っていく画面の下にある数字も、そうです。出会う回数だけなら、分数よりずっと多いかもしれません。

ならんべてみると、ひとつ気づくことがあります。どの場面にも、「ここを0とする」と人が決めた場所が必ずあります。この記事のいちばん大事な話は、じつはここから始まります。

りんごは「マイナス3こ」にならない

まず、マイナスがつけられない数のほうから見てみます。机の上のりんごを数えます。3こ、2こ、1こ、0こ。ここで止まります。りんごが「マイナス3こ」になることはありません。食べつくしたあとにもっと食べても、皿の上のりんごは0このままです。

では、なぜ温度は0の下へ行けるのでしょうか。りんごの0と、温度の0のちがいは何でしょう。

この見分け方は、ほかの場面にもそのまま使えます。エレベーターの「地面の高さ」も人が決めた目じるしですし、ゲームの「スタートの0点」も、テストの平均点も、海の水面も、カレンダーの西暦1年も、全部だれかが決めた目じるしです。目じるしとして置かれた0には、下がある。個数のように「なくなったら終わり」の0には、下がない。

つまり、マイナスの数は「ものの数」ではありません。ものの数だと思うから、「マイナス3こって何？」と気持ち悪くなるのです。マイナスの数が表しているのは、決めた目じるしから、どちら向きに、どれだけはなれているかという情報です。向きと大きさのセット、と言いかえてもいいでしょう。

0は、はしではなくまんなか

1年生のときにならった数の線を思い出してください。左はしが0で、そこから右へ1、2、3……とのびていました。このとき0は、線のはしっこにいました。

マイナスの数を入れるというのは、その線を左にも伸ばすということです。

この絵は、じつは見たことがあるはずです。温度計です。温度計をたおして横向きに置くと、いま見ている線とそっくり同じものになります。目もりが0のところに線が一本引いてあって、その上にも下にも目もりが続いている、あの道具です。

ここで、最初の思いこみがくずれます。「0より小さい数なんてあるのか」と思ってしまうのは、0を線のはしだと思っているからでした。はしの向こうには何もないはずだからです。ところが0はまんなかでした。まんなかの向こうには、ちゃんと続きがあります。

もうひとつ、この線から読み取れることがあります。0には、プラスもマイナスもつきません。「-0℃」という書き方を見たことがないのはそのためで、0は右側と左側の境目そのものだからです。どちら側でもないから、しるしがつかないのです。

数字が大きいほうが、小さくなる

さて、ここからがマイナスのいちばん引っかかるところです。質問です。

-5℃と-8℃。寒いのはどちらでしょう。

多くの人が一瞬まよいます。8のほうが5より大きいのだから、-8のほうが数として大きいような気がしてしまう。でも、寒いのは-8℃のほうです。そして「寒い＝温度が低い＝数として小さい」ですから、-8は-5より小さいが正解になります。

ルールはとてもかんたんです。数の線で左にあるほうが小さい。それだけです。プラスの世界ではこのルールと「数字が大きいほうが大きい」が一致していたので、区別する必要がありませんでした。マイナスの世界では、この二つがまっぷたつに分かれます。

いちばん下の行が、この表のおもしろいところです。-100と1をくらべると、数字としては100が1の百倍もあるのに、数としては1のほうが大きい。マイナスがついたしゅんかん、数字の大きさは「どれだけ小さいか」の目安に変わります。0から左へ100も進んだ場所にいる、という意味だからです。

続けて、もう一問。気温が-5℃から-8℃になりました。何℃、上がったか下がったかしましたか。

答えは「3℃下がった」です。数の線の上で、-5から-8までのへだたりは3つぶん。動いた向きは左、つまり寒いほうですから、下がったことになります。ここで「数字が5から8に増えたから上がった」と答えてしまう人はとても多いのですが、増えているのは0からのはなれぐあいであって、温度そのものではありません。

「できません」だった引き算が、できるようになる

小学校では、3-5 のような式を書くと「それはできません」と言われてきました。3こしかないものから5こは取れないからです。りんごの話としては、まったく正しい説明です。

ところが、数の線を左へ伸ばしたいま、この式には答えがあります。

3から左へ5つ進むと、-2に着きます。とちゅうで0を通りすぎるだけで、進めなくなるわけではありません。答えは「できません」ではなく、-2でした。

この見方には、うれしいおまけがあります。たし算とひき算の意味が、一本に整理できるのです。

たし算は右へ進むこと、ひき算は左へ進むこと。たったこれだけで、4つとも同じやり方で解けています。マイナスを入れると計算がややこしくなる、と思われがちですが、実際には逆のことが起きています。「できる場合とできない場合がある」というでこぼこがなくなって、どんな引き算にも必ず答えがある世界になるのです。

エレベーターには0階がない

ここまでで、マイナスの数は数の線そのものだ、という話をしてきました。ところが、身のまわりでいちばんよく見るマイナス──エレベーターのB1やB2──は、じつは数の線ときっちり1つだけずれています。ここはおとなでもまちがえるところなので、ていねいに見ていきます。

問題です。3階にいます。地下2階まで下ります。何階ぶん下がったことになるでしょう。

数の線で計算するなら、地下2階は-2ですから、3から-2まで動いたことになります。へだたりは5つぶんです。ところが、エレベーターのボタンを実際に数えてみると、こうなります。

数の線では5、ボタンを数えると4。1つ足りません。どこへ消えたのでしょうか。

この抜け落ちは、日本だけのくせではありません。ただし、国によって事情がちがいます。イギリスなどでは地面の高さの階を「グラウンドフロア（G）」とよび、その上を1階、2階と数えます。この数え方だと、Gがちょうど0の席におさまるので、数の線とぴったり一致します。どちらが正しいかではなく、0の席を用意したかどうかのちがいです。

そして、まったく同じずれが、まったくちがう場所にもう一つあります。西暦です。紀元前1年の次の年は、西暦1年です。あいだに「西暦0年」はありません。ですから、紀元前5年に生まれた人が西暦5年に迎える年齢は、5+5で10歳ではなく、9歳になります。エレベーターとまったく同じ理由で、1つずれるのです。

身のまわりのマイナスを見るときは、いつもこの一点を確かめる習慣をつけると安全です。0の席があるか、ないか。温度計には0℃の目もりがあるので、そのまま計算できます。標高にも海面という0があります。エレベーターと西暦にはありません。

0をまたぐと、ひき算なのに増える

最後に、実際の生活でいちばんよく使う計算をやっておきます。気温の差です。

今朝の気温は-3℃、昼の気温は4℃でした。何℃上がったでしょう。

数の線の上で、-3から4まで歩いてみます。とちゅうで0を通りますから、二つに分けて数えるのが確実です。

7℃です。式で書けば 4-(-3)=7 ですが、この「マイナスをひくと増える」という形は中学で習うので、いまは数の線を二つに分けて数えるだけでじゅうぶんです。そのほうが、なぜ7になるのかも一緒に分かります。

ついでに、もっと大きな差も計算してみましょう。日本の気象台がこれまでに記録したいちばん低い気温は、北海道の旭川市で1902年1月25日に観測された-41.0℃です。家の冷凍庫の中はおよそ-18℃ですから、旭川のその日は冷凍庫の中よりさらに23℃も寒かったことになります。

下にも、終わりはあるのか

ここまで「0の下にも世界が続いている」と言い続けてきました。では、どこまでも続くのでしょうか。

数としては、どこまでも続きます。-100の下には-1000があり、その下にもきりがありません。数の線に、左のはしはありません。

ところが、その線が表している「温度」のほうには、じつは底があります。どんなに冷やしても、およそ-273℃より下には行けないことが分かっています。これを絶対零度といいます。旭川の-41.0℃からでも、まだ232℃も下です。

ここは、ちょっと立ち止まる価値のあるところです。数には底がないのに、その数が表しているものには底がある。つまり-300℃という数を書くことはできますが、それに当たる寒さはこの世に存在しません。数と、数が表しているものは、別のものだということです。

同じことは、ほかの場面にも言えます。標高-4mの土地は日本にも実際にあって、秋田県の八郎潟を干拓してできた大潟村は、日本でいちばん低い土地として知られています。海の水面より4mほど低いのに、水びたしになっていません。堤防とポンプで水をおさえているからです。しかし標高-10000mの土地となると、数としては書けても、陸地としては存在しません。

やってみよう

Q1からQ3までは数の線のどちら側にいるかの話、Q4は0を自分で決めてよいという話、Q5は下があるかないかの見分け方でした。ばらばらに見えますが、通っている筋は一本です。マイナスは「たりない」ことを表す記号ではなく、「決めた0から左へ」という向きを表す記号、ということだけです。