分数と小数のまじった計算 ── そろえる先は、いつも分数のほう

分数と小数は、同じ数の二つの書き方

まず思い出しておきたいのは、分数と小数はまったく別の数ではない、ということです。同じ数を、ちがう書き方であらわしているだけです。

数直線にかいてみると、はっきりします。0.5 と 1/2 は、数直線の上でぴったり同じ一点をさしています。二つの点があるわけではありません。点は一つで、名ふだが二まいついていると考えるとよいでしょう。

では、なぜ二まいも名ふだがあるのでしょうか。それぞれ、とくいなことがちがうからです。小数は大小をくらべるのがとくいです。0.375 と 0.4 はどちらが大きいか、頭からけたを見ていけばすぐ分かります。分数は分けることをあらわすのがとくいです。「3 人で 2 まいのピザを分けた」は 2/3 と一息で書けますが、小数では 0.666… となって書き終わりません。

この「書き終わらない」が、じつはこれからの話のかなめになります。

行きはいつでも通れるが、帰りは通れないことがある

小数を分数に直す作業は、いつでも必ずできます。やり方も一つしかありません。小数点の右にあるけたの数だけ、10・100・1000 を分母にする。それだけです。

どんな小数を持ってきても、この手つづきは止まりません。小数は「けたが必ずどこかで終わっている数」だからです。終わっているということは、その一番下のけたに合わせて 10 や 100 や 10000 を分母にすれば、きちんと分数になるということです。

ところが、帰り道はちがいます。分数を小数に直すには分子を分母でわりますが、このわり算は終わらないことがあるのです。

1/3 を小数で書こうとすると、3 がどこまでも続きます。どこかで切れば、それはもう 1/3 ではない別の数です。0.33 は 1/3 より少しだけ小さい数で、0.34 は少しだけ大きい数。ぴったり合う小数は、どこまでさがしても見つかりません。

ここまで来れば、そろえる先が決まる理由はもう見えています。小数から分数への道はいつでも通れる道、分数から小数への道は通れるときと通れないときがある道です。まじった式に出会ったとき、必ず通れるほうへ全員を集めるのが安全です。だから、分数のほうにそろえます。

三つの手順でやってみる

やることは三つだけです。

さいしょの式でためしてみましょう。

0.5 を 5/10 に直し、約分して 1/2。ここまで来れば、あとは 6 年生になる前からやってきた通分のたし算です。答えは 5/6。小数で書くと 0.8333… となって書けませんから、この問題は分数で答えるしかない問題だったことが分かります。

もう一つ、ひき算でも見ておきます。

1.2 のように 1 をこえる小数でも、やることは変わりません。12/10 と直してから約分して 6/5 にします。答えの 9/20 は、たまたま小数にも直せる数で、9 ÷ 20 ＝ 0.45 です。答えを小数で書くよう指示があるときだけ、最後に直せばよいのです。計算のとちゅうで小数にもどってはいけません。とちゅうで直すと、また同じ行きづまりが起きるだけです。

かけ算とわり算では、効き目がもっと大きい

たし算・ひき算では「そろえないと計算できない」という話でした。かけ算とわり算では事情が変わります。じつは小数のままでも計算はできてしまいます。それでも分数に直したほうがよいのは、けたが増えずに、約分で数が小さくなるからです。

どちらも同じ数（0.4 ＝ 2/5）にたどりつきますが、下のやり方は小数点の位置を一度も考えずにすんでいます。かけ算でいちばん多いまちがいは小数点の打ちまちがいですから、その心配ごと自体を消せるのは大きな利点です。

わり算になると、差はもっとはっきりします。

0.4 を 4/10 ＝ 2/5 に直してしまえば、あとは分数のわり算です。ひっくり返してかける、あのやり方がそのまま使えます。もし小数のままやろうとすると、3 ÷ 8 ＝ 0.375 を出してから 0.375 ÷ 0.4 を計算することになり、わる数の小数点を動かす手つづきが増えます。わり算は、分数の世界に入ってしまえばかけ算に変わる。これが分数の最大の強みで、6 年の「分数のわり算」でならったことが、そのまま効いてくる場面です。

整数がまじっていても同じです。6 は 6/1 と見ればよいので、6 × 0.75 ＝ 6/1 × 3/4 ＝ 18/4 ＝ 9/2 ＝ 4.5 のように、ひとつの形にそろえてしまえます。

小数のままのほうが速い場合もある

「いつも分数」とおぼえてしまうと、かえって遠回りになることもあります。次の式を見てください。

この式にふくまれる分数は 1/4 ひとつだけで、しかも 0.25 という終わる小数に直せます。分数にそろえて 1/2 ＋ 1/4 ＋ 1/4 と通分してもよいのですが、小数にそろえたほうが暗算で終わります。

見わけ方はかんたんです。式の中の分数が、全部きちんと終わる小数に直せるかどうか。終わる小数になるのは、分母が 2 と 5 だけでできている分数です。

分母を分解したとき、2 と 5 以外の数（3 や 7 など）が出てきたら、その分数は小数で書ききれません。この見わけができるようになると、問題を見たしゅんかんに「これは分数に行くしかない」「これは小数でも楽に行ける」が判断できます。ただし迷ったら分数。分数を選んで損をすることはありませんが、小数を選ぶと途中で行きづまることがあるからです。

つまずきやすいところ

その1　0.3 を 1/3 だと思ってしまう

見た目に 3 が出てくるので、いちばん多い取りちがえです。0.3 は 3/10 で、1/3 は 0.333… です。数直線にならべると、この二つはちがう場所にあります。
直し方は、必ず分母 10・100 から始めること。0.3 →「小数第一位までだから分母は 10」→ 3/10。この順番を声に出しているうちに、分子と分母の取りちがえは消えます。

その2　とちゅうで小数に直してしまう

1/3 を 0.33 に直して計算を進めてしまうと、答えがほんの少しずれます。テストでは正解になりません。
0.33 は 1/3 ではなく、1/3 に近いだけの別の数です。「近い数でよいのは、およその大きさを見積もるときだけ」と、はっきり分けておきましょう。

その3　帯分数のまま逆数にする

1 と 1/2 のような帯分数が式に入っていると、そのまま上下をひっくり返してしまう子がいます。逆数を作れるのは仮分数だけです。
1 と 1/2 → 3/2 → 逆数は 2/3。帯分数はまず仮分数にを、小数を分数に直すのと同じ「そろえる」作業の一部として一度にやってしまうと、忘れません。

その4　最後の約分を忘れる

8/20 のままにして減点されるのは、もったいないまちがいです。小数を分数に直すと分母が 10・100 になるので、約分できる形が出やすいのです。
分母に 10 や 100 が出てきたら約分の合図、と決めておきます。計算が終わったら、分子と分母をもう一度見る。この三秒が点数を守ります。

やってみよう