6年 算数 分数のかけ算

分数のかけ算 ── 分母どうし、分子どうし。なぜそれでいいのか

計算のしかたは拍子抜けするほど簡単です。でも、なぜそうなるかを知っておきましょう。

計算のしかた

結論から言うと、こうです。

分数 × 分数 分母どうしをかける 分子どうしをかける 2 3 2×3 6 ─ × ─ ＝ ─── ＝ ── 5 4 5×4 20

たし算では通分が必要でしたが、かけ算では通分しません。

たし算 … 通分が必要 1/2 ＋ 1/3 ＝ 3/6 ＋ 2/6 かけ算 … 通分は不要 1/2 × 1/3 ＝ 1/6

この差は、意味を考えると分かります。

たし算 … 同じ単位のものを合わせる → 単位をそろえる必要がある かけ算 … 「〜の何倍」を求める → そろえる必要はない

「1/2の1/3」を求めるのがかけ算です。合わせるのではなく、一部を取り出すのです。

なぜそうなるのか

面積図で確かめてみましょう。

1辺1の正方形を考える よこを 2/5 に区切る たてを 3/4 に区切る ┌──┬──┬──┬──┬──┐ │██│██│ │ │ │ ├──┼──┼──┼──┼──┤ │██│██│ │ │ │ ├──┼──┼──┼──┼──┤ │██│██│ │ │ │ ├──┼──┼──┼──┼──┤ │ │ │ │ │ │ └──┴──┴──┴──┴──┘ 全体は 5 × 4 ＝ 20個のマス 色のついた部分は 2 × 3 ＝ 6個 → 6/20

マスの数を見てください。

全体のマス数 ＝ 分母 × 分母 色のマス数 ＝ 分子 × 分子 だから 分母どうし、分子どうしをかける

図の構造がそのまま計算のルールになっているのです。

整数のかけ算と同じ形であることにも注目してください。

3 × 4 ＝ 12 → たて3、よこ4の長方形の面積 2/5 × 3/4 ＝ 6/20 → たて2/5、よこ3/4の長方形の面積 → 同じ考え方

面積の公式は、分数でも成り立つのです。

約分を先にする

計算するとき、先に約分すると楽になります。

【後で約分】 4 5 20 5 ─ × ─ ＝ ── ＝ ─ 9 8 72 18 → 72と20の最大公約数を探す → 数が大きくて大変 【先に約分】 4 5 ─ × ─ 9 8 ↑ ↑ 4と8を4でわる 1 5 5 ─ × ─ ＝ ── 9 2 18 → 小さい数で計算できる

約分できるのは、ななめの位置でもかまいません。

約分できる組み合わせ ・左の分子 と 右の分母 ・右の分子 と 左の分母 ・同じ分数の分子と分母 → かけ算だから、 どこで約分しても同じ

なぜななめでもよいのでしょうか。かけ算はまとめて1つの分数になるからです。

4 5 4×5 ─ × ─ ＝ ─── 9 8 9×8 → 上下の数をどう組み合わせて 約分してもよい

先に約分すると、計算が楽で、ミスも減ります。習慣にしましょう。

整数や帯分数とのかけ算

整数が混じる場合は、分母1の分数と考えます。

3 3 5 15 5 × ─ → 5/1 × ─ ＝ ── ＝ ── 7 7 1 7 → 3 × 5 ＝ 15、7 × 1 ＝ 7

実際には、分子に整数をかけるだけです。

帯分数の場合は、必ず仮分数に直します。

1 2 1 ─ × 2 ─ 3 5 仮分数に直す 4 12 48 3 ─ × ── ＝ ── ＝ 3─ 3 5 15 5

帯分数のまま計算しようとすると、まちがえます。

【よくあるまちがい】 1と1/3 × 2と2/5 = (1×2) と (1/3 × 2/5) = 2と2/15 ← × 整数部分と分数部分を 別々にかけてはいけない

なぜでしょうか。帯分数は「整数＋分数」だからです。(1＋1/3)×(2＋2/5)を展開すると、4つの積の和になります。単純に分けられないのです。

だから、迷わず仮分数に。これが鉄則です。

1より小さい数をかける

小数のときと同じ現象が、分数でも起こります。

かける数が1より小さいと 答えは元より小さくなる 2 6 2 12 6 × ─ ＝ ─ × ─ ＝ ── ＝ 4 3 1 3 3 6 → 4 に減った

2/3は1より小さいので、かけると減ります。

かける数答えは例
1より大きい元より大きい6 × 4/3 ＝ 8
1と等しい元と同じ6 × 3/3 ＝ 6
1より小さい元より小さい6 × 2/3 ＝ 4

1が境目という原則は、整数・小数・分数のすべてで共通です。

この感覚があると、答えの見当がつけられます。

8 × 3/4 の答えを予想 3/4 は1より小さい → 8より小さいはず → 6くらい? 実際は 6 ○

計算した答えが8より大きくなったら、どこかで間違えています。

文章題での使い方

分数のかけ算は、どんな場面で使うのでしょうか。

【パターン1】〜の何倍 問題：3/4mのリボンの2/3の長さは? 3 2 6 1 ─ × ─ ＝ ── ＝ ─ （m） 4 3 12 2
【パターン2】1あたり × いくつ分 問題：1mの重さが 2/5 kgの棒。 この棒 3/4 m の重さは? 2 3 6 3 ─ × ─ ＝ ── ＝ ── （kg） 5 4 20 10
【パターン3】面積・体積 問題：たて 2/3 m、よこ 3/5 m の 長方形の面積は? 2 3 6 2 ─ × ─ ＝ ── ＝ ─ （m²） 3 5 15 5

迷ったら、整数に置きかえて考えます。

「1mが2/5kgの棒、3/4mの重さは?」 分数だと分かりにくい ↓ 「1mが2kgの棒、3mの重さは?」 ↓ 2 × 3 とすぐ分かる ↓ だから 2/5 × 3/4

5年生の小数のかけ算でも使った方法です。数がややこしいだけで、場面の構造は同じなのです。

そして、答えが出たら大きさを確かめます。3/4mの棒なら、1mより短いので2/5kgより軽いはず。答えの3/10kgは確かに軽くなっています。

計算のきまりも成り立つ

4年生で学んだ計算のきまりは、分数でも成り立ちます。

交換法則 2 3 3 2 ─ × ─ ＝ ─ × ─ 3 5 5 3 結合法則 (a × b) × c ＝ a × (b × c) 分配法則 (a ＋ b) × c ＝ a×c ＋ b×c

これを使うと、計算を工夫できます。

3 4 ─ × 7 × ─ 4 3 順番を入れかえて 3 4 ─ × ─ × 7 4 3 ＝ 1 × 7 ＝ 7

3/4と4/3をかけると1になります。このような関係にある2つの数を逆数といいます。

逆数とは かけると1になる数 2 3 ─ → ─ 3 2 5 → 1/5 → 分母と分子を入れかえる

逆数は、次の単元「分数のわり算」で決定的に重要になります。ここで意味をしっかりつかんでおきましょう。

整数の逆数も確認しておきます。5は5/1と考えられるので、逆数は1/5です。0だけは逆数がありません。0に何をかけても1にはならないからです。

つまずきやすいところ

その1　通分してしまう

たし算のくせで通分する。
かけ算では通分は不要です。そのまま分母どうし、分子どうしをかけます。

その2　帯分数のまま計算する

整数部分と分数部分を別々にかける。
帯分数は必ず仮分数に直してから計算します。

その3　約分を忘れる

答えが6/20のままになる。
答えはこれ以上わりきれない形にします。先に約分する習慣をつけると確実です。

やってみよう

Q1　分数のかけ算のしかたを言いましょう。

A　分母どうし、分子どうしをかける。通分は必要ありません。

Q2　2/3 × 3/5 を計算しましょう。

A　3どうしを約分して 2/1 × 1/5 ＝ 2/5です。

Q3　帯分数のかけ算では、まず何をしますか。

A　仮分数に直します。帯分数のままでは正しく計算できません。

Q4　10 × 3/5 の答えを、計算前に予想しましょう。

A　3/5は1より小さいので10より小さい。実際は6です。

まとめ

おうちの方へ

分数のかけ算は、計算方法自体は非常に簡単です。しかし「なぜそれでいいのか」を理解していないと、わり算で混乱します。
面積図で確かめる作業は、ぜひ一緒にやってみてください。方眼紙に正方形をかいて区切ると、マスの数が分母と分子の積になることが目で見えます。
「通分がいらない」ことに違和感を持つ子もいます。たし算とかけ算では意味がちがうという説明を、丁寧にしてあげてください。
約分を先にする習慣は、計算力を大きく左右します。後で大きな数を約分するより、はるかに楽で確実です。
そして、答えの見当をつける習慣も引き続き大切です。「1より小さい数をかけたら減る」という感覚が、ミスの発見につながります。