長さが2倍なら、面積は4倍、体積は8倍 ── 拡大・縮小でふえる割合は、次元の数だけかけ算になる

正方形で確かめる──長さの倍と面積の倍は、ちがう数

1辺3cmの正方形を考えます。面積は3×3＝9cm²です。これを1辺6cm（2倍の長さ）に拡大すると、面積はどうなるでしょうか。

長さは2倍にしただけなのに、面積は4倍になりました。理由は面積の求め方が「辺×辺」というかけ算だからです。辺が2倍になると、かけられる数も、かける数も、どちらも2倍になります。だから面積は2×2で4倍です。

1辺を3倍にしたらどうなるか、同じように確かめます。

長さが□倍のとき、面積は必ず□×□倍になります。この規則は正方形だけのものではありません。次の章で、形がちがっても同じことが起きるのを見ていきます。

長方形・三角形・円でも、同じ規則が使える

縦4cm・横6cmの長方形（面積24cm²）の縦と横を、どちらも2倍にしてみます。

三角形（底辺6cm・高さ4cm、面積12cm²）でも確かめます。底辺と高さをどちらも2倍にすると、底辺12cm・高さ8cmになります。

円でも同じです。半径5cmの円（面積78.5cm²）の半径を2倍（10cm）にすると、面積は次のようになります。

立体になると、かけ算がもう1回ふえる──体積は3乗

1辺2cmの立方体の体積は、2×2×2＝8cm³です。1辺を2倍の4cmにすると、体積はどうなるでしょうか。

体積の公式は「縦×横×高さ」のように、長さが3つ分かけ算されています。縦・横・高さがどれも□倍になるので、体積は□×□×□倍になります。面積が「長さ2つ分（2乗）」、体積が「長さ3つ分（3乗）」というのは、平面の図形（2次元）と立体（3次元）という、次元の数のちがいがそのまま表れている、ということです。

1辺を3倍にした場合も確かめておきます。1辺2cmの立方体を1辺6cm（3倍）にすると、体積は2×2×2＝8cm³から6×6×6＝216cm³になります。216÷8＝27で、27倍（3×3×3）です。長さの倍数が同じ「3倍」でも、面積なら9倍、体積なら27倍と、ふえ方がどんどん大きくなっていくのが分かります。

地図の縮尺で、実際の面積を求める

この規則は、地図の問題でそのまま使えます。縮尺1：5000の地図に、2cm×3cmの長方形の土地がかかれています。実際の面積は何m²でしょうか。

まず、ふつうのやり方（長さを先にもとに戻す方法）で計算します。

次に、面積の2乗ルールを使って、もっと速く計算してみます。

どちらの方法でも、答えは同じ15000m²になりました。長さの縮尺（1：5000）をそのまま面積には使えず、5000を2回かけた数（25000000倍）を使うのがポイントです。ここが、縮図・拡大図の単元で「面積は□×□倍」と教わる内容の、実際の使い道です。

つまずきやすいところ

その1　長さが□倍なら、面積も□倍だと思ってしまう

「1辺を2倍にしたから、面積も2倍」は、よくある間違いです。
正方形で確かめたとおり、1辺3cm（面積9cm²）を2倍の6cmにすると、面積は18cm²ではなく36cm²、つまり4倍です。面積の計算には長さが2つ分（辺×辺）入っているので、長さの倍数が2回かかります。

その2　面積が□倍だから、辺も□倍だと逆に考えてしまう

「面積が4倍になったから、辺の長さも4倍」というのも、よくある逆の間違いです。
1辺4cmの正方形（面積16cm²）の面積を4倍の64cm²にしたいとき、辺の長さは4倍の16cmではありません。8×8＝64なので、正しい辺の長さは8cm、つまり2倍です。面積が□倍になるとき、辺の長さは「2回かけて□になる数」の倍、という関係になります。面積が9倍なら辺は3倍（3×3＝9）、面積が16倍なら辺は4倍（4×4＝16）です。

その3　地図の面積で、縮尺の数字を1回しかかけない

縮尺1：5000の地図で、実際の面積を求めるときに「6cm²×5000＝30000cm²」のように、5000を1回だけかけてしまう間違いがあります。
長さの縮尺をそのまま面積にあてはめることはできません。面積では、縮尺の数字を2回かける（5000×5000）必要があります。1回だけかけると、実際の面積が5000倍も小さい、まったくちがう答えになってしまいます。

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