仮の平均 ── 大きい数の平均は、近道で求められる

こんなとき、まともに計算すると大変

5回の漢字テストの点数です。

ふつうにやるなら、こう計算します。

2けたどうしの筆算を4回も続けるので、どこかで1つまちがえる危険があります。点数がもっと大きい数（458点、1024点…のような合計）になれば、なおさらです。

実は、このくらいの点数がぎゅっと近くに集まっているとき、もっと速く、まちがいにくい方法があります。それが「仮の平均」です。

仮の平均のやり方

まず、きりのいい数を1つ、仮に「平均っぽい数」として置きます。ここでは90にします。

次に、それぞれの点数が、仮の平均90からどれだけ「ずれて」いるかを求めます。

この「ずれ」を全部たします。

ずれの合計は－5。これを個数5でわります。

最後に、仮の平均に「ずれの平均」をたします。

さっきの筆算と同じ89点になりました。しかも、出てきた数字は1けたのたし算・ひき算ばかりです。2けたの筆算を4回くり返すより、まちがいが減ります。

なぜこれでいいのか

「仮の平均」は、ただの裏ワザではありません。平均の式を変形すると、仕組みが見えてきます。

これを全部たすと、90が5個分と、ずれの合計に分かれます。

つまり本当の合計は「仮の平均×個数」に「ずれの合計」をたしたものです。これを個数でわれば、

となり、「仮の平均＋ずれの平均」で本当の平均が求まることが説明できます。平均の意味そのもの（でこぼこをならした値）は変わっていません。ならし方の計算の道すじだけを近道にしている、というのがこの方法の正体です。

仮の平均はどう選ぶか

仮の平均は、どんな数を選んでもかまいません。90でも、85でも、100でも、計算すれば必ず同じ答え（89点）になります。ただし、選び方で計算のしやすさは大きく変わります。

答えは同じ89点ですが、ずれが2けたになって、暗算の負担がふえました。よい仮の平均は、こう選びます。

データをパッと見て「だいたいこのへん」という数を仮の平均にするのがコツです。ぴったり当たらなくても、ずれの計算で調整されるので心配いりません。

くらしの中でも使われている

仮の平均の考え方は、テストの点数だけでなく、いろいろな場面で役立ちます。

仮の平均を25℃として、ずれを出します。

ずれの合計がぴったり0になると、仮の平均がそのまま答えになります。こういう「きれいにそろう」場面を見つけると、計算のくふうの便利さがよく分かります。

体重の記録や、おこづかいの週ごとの残高など、だいたい同じくらいの数が並ぶデータでは、仮の平均を使うと暗算だけで平均が出せることが多くなります。大きい数をそのまま足さずに、「基準からのちがい」だけで考える、という発想は、割合やくらべる計算など、これから習う単元でも形を変えて出てきます。

つまずきやすいところ

その1　ずれの符号をまちがえる

仮の平均より小さい数なのに＋をつけてしまう。
仮の平均より小さければ－、大きければ＋です。「仮の平均からどちらへ動けば元の数になるか」で考えると整理しやすくなります。

その2　ずれの合計を個数でわり忘れる

ずれの合計（－5）を、そのまま仮の平均にたしてしまう。
たすのはずれの「平均」です。ずれの合計を個数でわってから仮の平均にたします。

その3　最後に仮の平均をたし忘れる

「ずれの平均」を求めたところで答えだと思ってしまう。
－1はあくまで仮の平均からのずれです。90＋（－1）＝89まで計算してはじめて答えになります。

その4　データが仮の平均から遠すぎる

仮の平均を30のように選ぶと、ずれが＋56、＋61…のような大きい数になり、近道の意味がなくなります。
仮の平均はデータの近くの数から選びます。

やってみよう