4つの公式が出てきます。でも暗記する必要はありません。すべて導けるからです。
4年生で学んだ面積の公式は、これだけでした。
5年生では、三角形・平行四辺形・台形・ひし形の面積を学びます。
ここで使う作戦は、たった一つです。
切って動かす、2つ合わせる、囲む。どんな方法でも、長方形にできれば計算できます。
この「知っている形に持ちこむ」という発想は、算数・数学の基本戦略です。新しい問題に出会ったとき、すでに解ける形に変えられないかを考える。この単元は、その練習でもあります。
まず平行四辺形から始めます。
切って移しただけなので、面積は変わっていません。
ここで重要なのは、高さは「垂直な長さ」だということです。ななめの辺の長さではありません。
これがこの単元最大の注意点です。図に書かれた数字をそのまま使うと、間違えることがあります。
三角形は、同じものを2つ合わせると考えます。
÷2があるのは、平行四辺形の半分だからです。理由が分かれば忘れません。
三角形でも、高さは垂直な長さです。そして、三角形には注意すべき形があります。
底辺を延長した線に垂直に測ります。高さが外に出ても、公式は同じです。
また、底辺の取り方は3通りあります。どの辺を底辺にしてもよく、それに対応する高さを使えば、同じ面積になります。
台形も、2つ合わせる方法で考えます。
2つ分の面積が「(上底＋下底)×高さ」なので、1つ分は÷2です。
この公式は複雑に見えますが、導き方を知っていれば作れます。
ちなみに、台形の公式は三角形と平行四辺形の両方を含んでいます。
1つの公式で3つをカバーできるのです。数学の美しさが感じられるところです。
ひし形は、対角線で考えます。
なぜ対角線を使うのでしょうか。ひし形の対角線は垂直に交わるからです。4年生で学んだ性質が、ここで生きています。
この公式は、対角線が垂直に交わる四角形ならどれでも使えます。正方形もそうです。
| 図形 | 公式 | 導き方 |
|---|---|---|
| 長方形 | たて × よこ | マスを数える |
| 平行四辺形 | 底辺 × 高さ | 切って移す |
| 三角形 | 底辺 × 高さ ÷ 2 | 2つで平行四辺形 |
| 台形 | (上底＋下底) × 高さ ÷ 2 | 2つで平行四辺形 |
| ひし形 | 対角線 × 対角線 ÷ 2 | 長方形の半分 |
公式が5つありますが、すべて長方形から導けます。忘れても作り直せるのです。
問題では、使わない数値がわざと書かれていることがあります。
平行四辺形で、底辺8cm・ななめの辺6cm・高さ5cmと書かれていたら、使うのは8と5です。6は使いません。
見分け方は、底辺と垂直かどうか。図に直角の印（□）があるところを探します。
迷ったら、「底辺に対して、まっすぐ立っているか」を確認してください。
公式が使えない形も、分ければ計算できます。
4年生の面積で学んだ「分ける・引く」が、ここでも使えます。
そして、底辺と高さが等しい三角形は、形がちがっても面積が同じという面白い性質もあります。
頂点が底辺と平行な線の上を動く限り、高さは変わらないので面積も変わりません。形がちがっても面積は同じになるのです。
この性質を使うと、面白い問題が解けます。
頂点を左端に寄せても、真ん中でも、右端でも、面積は長方形のちょうど半分です。
この考え方は、中学で学ぶ「等積変形」につながります。面積を変えずに形だけ変える技術です。面積は形ではなく、底辺と高さで決まる──この理解が土台になります。
平行四辺形で、辺の長さを高さと勘違いする。
高さは底辺に垂直な長さです。直角の印を探します。
三角形の面積で2でわり忘れる。
2つ合わせて平行四辺形だから半分です。理由を覚えておけば忘れません。
台形の公式が思い出せず手が止まる。
2つ合わせて平行四辺形にすれば導けます。導き方を覚えるほうが確実です。
Q1 平行四辺形の面積の公式と、その理由は?
A 底辺×高さ。切って移すと長方形になるからです。
Q2 三角形の公式に÷2があるのはなぜ?
A 同じ三角形2つで平行四辺形になるからです。だから半分です。
Q3 高さとは何ですか。
A 底辺に垂直な長さです。図にある直角の印を探して見つけます。
Q4 台形の公式を、自分で導いてみましょう。
A 同じ台形を逆さにして合わせると平行四辺形。底辺が(上底+下底)なので、÷2で1つ分です。
この単元では、公式の暗記に走らせないことが重要です。5つの公式を丸暗記すると、必ず混乱します。
おすすめは、実際に紙を切って動かすことです。平行四辺形を切って長方形にする、三角形を2つ合わせる、台形を逆さにして合わせる。手を動かすと、公式の意味が体で分かります。
「高さ」の誤解は非常に多いつまずきです。ななめの辺を高さだと思ってしまうのです。「底辺に対してまっすぐ立っているか」を確認する習慣をつけてください。
問題によっては、使わない数値がわざと入っています。これは意地悪ではなく、高さを正しく判断できるかを見るためです。
台形の公式が三角形も平行四辺形も含むという話は、興味を持つ子には面白い発見になります。