三角定規を2まい組み合わせてできる角度 ── たせば75°〜150°、重ねれば15°、もとの4つと合わせて10種類

三角定規2まいの角をおさらいする

三角定規Aは「直角三角形」で、角は30°・60°・90°の3つです。三角定規Bは「直角二等辺三角形」で、角は45°・45°・90°の3つです。どちらも1つの角は必ず90°(直角)です。

この時点で分度器を使わずに作れる角は30°・45°・60°・90°の4種類です。ここから、三角定規を組み合わせてつくる角度がどこまで広がるかを、2まいを使って確かめていきます。

外に開いて「たす」と、新しい角ができる

2まいの三角定規の辺をぴったり重ね、そこを軸にして外側へ開くと、2つの角が合わさった大きな角ができます。これは2つの角度をたし算することと同じです。Aの角(30°・60°・90°のどれか)とBの角(45°・90°のどちらか、45°は2つあっても同じ数字です)を1つずつ選んで、たせる組み合わせをすべて確かめます。

75°・105°・120°・135°・150°。これで5つの新しい角ができました。

もう1つの組み合わせ、Aの90°とBの90°をたすと90°＋90°＝180°になりますが、180°は一直線になるだけで、角としては「開いていない」状態です。新しい角としては数えません。

重ねて「ひく」と、もう1つ新しい角ができる

今度は、2まいの三角定規の辺をそろえたまま、1まいをもう1まいの上に重ねるように置きます。すると、はみ出た部分が「大きい角から小さい角を引いた」すきまの角になります。これは2つの角度のひき算です。

どちらも答えは15°になります。別の組み合わせも確かめておきましょう。

重ねてひいた場合、新しく出てくる角度は15°だけです。ほかの組み合わせは、もともとある30°・45°・60°・90°に戻るか、すきまが0°になるだけでした。

新しい角は6つ、もとの4つと合わせて10種類

たして作れた新しい角が5つ(75°・105°・120°・135°・150°)、重ねて作れた新しい角が1つ(15°)。合わせると6つの新しい角が、三角定規を組み合わせることで作れます。

もとから三角定規1まいだけで作れた4種類(30°・45°・60°・90°)と、今回の6種類を合わせると、ちょうど10種類の角度が、三角定規だけで作れることになります。

表を上から見ると、15°・30°・45°・60°・75°・90°・105°・120°・135°・150°と、15度ごとに10個並んでいることが分かります。三角定規だけで、15度刻みの角度ならどれでも作れるのです。

「たす」か「ひく」か、どちらを使うかの見分け方

2まいの三角定規を組み合わせるとき、「たす」のか「ひく」のかは、置き方で決まります。

①は、2つの角のあいだにすきまができる置き方です。扇を開くように、1まいの角のはしから、もう1まいの角が続いて並びます。②は逆に、1まいがもう1まいの一部とかさなる置き方で、重なっていない部分だけが残ったすきまの角になります。

どちらの置き方か迷ったときは、実際に三角定規2まいを手に取って、角を合わせてみるのが一番確実です。開いているか、重なっているかは、見ればすぐに分かります。

つまずきやすいところ

その1　45°が2つあるから、どんな半端な角度でも作れると思う

三角定規Bに45°が2つあるので、「組み合わせれば何でも作れそう」と思ってしまう。
実際に作れるのは15度ごとの10種類だけです。たとえば20°や50°のような、15の倍数でない角度は、三角定規2まいだけでは作れません。

その2　重ねて「ひく」場合を忘れて、たし算だけで考えてしまう

三角定規を組み合わせる問題を見ると、外に開く「たし算」のことしか考えず、15°が作れることに気づかない。
2まいを重ねて置くと「ひき算」になることも、必ずセットで確認しましょう。15°は、重ねる置き方でしか作れません。

その3　90°＋90°＝180°を「新しい角」として数えてしまう

たし算の組み合わせを数えるとき、90°＋90°＝180°も新しい角の1つに入れてしまう。
180°は2本の辺が一直線になっているだけで、開いた角ではありません。新しい角の数には入れません。

やってみよう