円がぴったり入る長方形 ── 直径を知れば、長方形の長さも分かる

円がぴったり入るとはどういうことか

「円と球」の単元で、直径と半径の関係を学びました。

この関係は、円だけで使うものではありません。円がぴったり入る長方形では、この関係を長方形の長さを求める手がかりとして使います。

「ぴったり入る」とは、円が長方形の辺に、ちょうど接しているという意味です。すき間も重なりもありません。このとき、長方形のたてとよこの長さは、円の直径と同じになります。

図形が組み合わさっていても、答えを出す計算は「半径×2」だけです。図の意味が分かれば、計算はいつもの直径の求め方になります。

正方形の場合も同じ

正方形にぴったり入る円なら、どうなるでしょうか。

正方形は4つの辺がすべて同じ長さなので、どの辺で考えても答えは同じです。たてで考えても、よこで考えても、直径がそのまま1辺の長さになります。

この問題は、円と球の単元の知識と、2年生で習った「長方形・正方形のまわりの長さ」を組み合わせています。1つの単元だけでは解けない、つながりの問題です。

円が2つ、3つと並ぶとき

長方形の中に、同じ大きさの円が横に並んでいる問題もよく出ます。

ここでのポイントは、「よこの長さは、直径が何個分か」を数えることです。円が2つ並べば直径2個分、3つ並べば3個分。たての長さは、円が何個並んでも直径1個分のままです。横に並んでいるだけで、上下には積まれていないからです。

円の数が増えても、やることは変わりません。「直径 × 円の数」、この1つの式で解けます。

では、円が横だけでなく、たてにも並んでいるときはどうなるでしょうか。たとえば直径4cmの円が、横に3つ・たてに2つ、合計6つ並んでいる長方形があるとします。このときは、よこの長さにもたての長さにも、それぞれ並んでいる個数をかけることになります。

ここで大事なのは、「円が何列・何行並んでいるか」を、たてとよこで別々に数えることです。全部の円の数（6こ）をそのまま使ってしまうと、まったく違う答えになってしまいます。

半径で聞かれるか、直径で聞かれるか

この種類の問題でいちばん多い間違いは、半径と直径を取りちがえることです。問題文には「半径」としか書かれていないこともあります。

長方形や正方形の長さの計算に使うのは、いつも直径です。問題文に「半径」と書かれていたら、最初の1行で2倍して直径に直しておくのが、間違いを防ぐコツです。

答えが出たら、図にもどって大きさを見比べるのも有効な確かめ方です。正方形の1辺が、円の半径より小さくなることはありません。円がぴったり入っているのですから、辺の長さは半径よりずっと大きいはずです。答えが半径と同じくらいの数になっていたら、どこかで2倍をし忘れています。

長方形から円の大きさを逆に求める

反対に、長方形の長さから、円の半径や直径を求める問題もあります。

ここで、直径÷2＝半径という、もう一つの関係を使います。わり算の答えが小数になることもありますが、落ち着いて計算すれば問題ありません。

この問題は、さっきの「直径×円の数＝よこの長さ」を逆に使うだけです。かけ算で作った式を、わり算で戻しています。かけ算とわり算が逆の関係にあることは、2年生のときから使ってきた考え方です。

つまずきやすいところ

その1　半径と直径のまま計算してしまう

長方形の長さに使うのは直径なのに、半径のまま答えてしまう。
図に「直径」と書きこんでから計算する習慣をつけると、取りちがえが減ります。

その2　円の数をかけ忘れる

円が2つ以上並んでいるのに、直径1個分で答えてしまう。
図の中の円を1つずつ数えて、その数を声に出す。「円が3つ、だから直径×3」と言ってから式を書きます。

その3　たてとよこを混同する

円が横に並んでいるのに、たての長さまで円の数だけかけてしまう。
円が並んでいる向きだけに、円の数をかける。並んでいない向きは、円1つ分のままです。

やってみよう